Sukcesy matematyków dla laika są najczęściej zupełną abstrakcją, ponieważ ciężko te dokonania opisać zrozumiałym językiem dla kogoś, kto edukację matematyczną zakończył na szkole średniej. Ale dość powiedzieć, że pracujący współcześnie polscy naukowcy zajmujący się królową wszystkich nauk, mają na swoim koncie spektakularne wręcz dokonania.
Symetria wszystkich symetrii, czyli potrójny sukces
„Symetria wszystkich symetrii” to problem matematyczny, który był nierozwiązany od dekad. Był uważany za jedno z największych wyzwań w geometrycznej teorii grup. Rozwiązanie znaleźli Polacy: dr Marek Kaluba, prof. Dawid Kielak i prof. Piotr Nowak, a ich praca ukazała się w 2021 roku w „Annals of Mathematics”, jednym z najbardziej prestiżowych pism naukowych na świecie. Badania Polaków otrzymały w ubiegłym roku nagrodę Frontiers of Science Award na kongresie International Congress of Basic Science, który odbywa się w Pekinie.
O co w tym wszystkim chodzi? „Matematyczny obiekt, który koduje informacje o symetrii, jest tzw. grupą. Jej elementami są np. te symetrie, które znamy ze szkoły: mogą to być symetrie osiowe, obrotowe, jednokładności itd. Nasze badania dotyczą symetrii pewnych grup, a więc symetrii zbioru symetrii... Co więcej, grupy, których symetrie badamy, są pewnymi obiektami uniwersalnymi, z których pochodzą wszystkie inne grupy! Nie wiem, czy to rozjaśni obraz sytuacji, czy raczej zaciemni, ale można powiedzieć, że opisujemy symetrie wszystkich symetrii” – tłumaczył w wywiadzie dla serwisu Uniwersyteckie dr Marek Kaluba.
Prof. Dawid Kielak w rozmowie z „Wprost” wyjaśnia, że problem jest motywowany analogią z symetriami przestrzeni wektorowych. Taką przestrzenią jest np. zwykła kartka, która ma dwie współrzędne, x i y – można to łatwo uogólnić do większej ilości różnych współrzędnych (np. x, y, z, w). Można sobie wyobrazić np. lustrzane odbicie takiej kartki, a linia prosta poprowadzona między nimi to oś symetrii. To jednak bardzo duże uproszczenie.
– To naprawdę trudno wytłumaczyć, nie używając naukowego języka, tym bardziej że mówimy o dużo bardziej skomplikowanych przestrzeniach – śmieje się prof. Kielak. – Symetrie przestrzeni wektorowych badane są od dawna i jeszcze radzieccy naukowcy zauważyli coś, co nazywamy luką spektralną. Tu spróbuję użyć porównania do obiektu metalowego, w który uderzamy pałeczką. Jeśli obiekt jest większy, dźwięk się zmienia. Jeśli zaś mamy lukę spektralną, niezależnie od wielkości obiektu, dźwięk będzie taki sam. No i okazało się, że symetrie tych przestrzeni wektorowych mają taką własność, że można je przybliżać skończonymi obiektami, a mimo tego dźwięk się nie zmienia – dodaje.
To właśnie zespół polskich naukowców znalazł dowód na to, że „symetrie wszystkich symetrii” również mają wspomnianą własność. Wcześniej naukowcy nie mogli zrozumieć niewytłumaczalnej szybkości działania algorytmów do wyznaczania losowych symetrii skończonych grup. – Nasze obliczenia potwierdziły to, co wcześniej było tylko przypuszczeniem. Za szybkość działania tych algorytmów losujących odpowiedzialna jest luka spektralna „symetrii wszystkich symetrii” – mówi prof. Kielak.
Trzeba tu dodać, że to, co udowodnili Polacy, ma swoje realne zastosowanie. Pozwala między innymi konstruować ekspandery – grafy z dużą ilością połączeń, wykorzystywane m.in. w algorytmach streamingujących. Takie algorytmy mogą dziś odpowiadać na przykład za wskazywanie trendów w mediach społecznościowych. Ta nie tylko teoretyczna wartość badań trójki matematyków została podkreślona w uzasadnieniu przyznania prof. Piotrowi Nowakowi Nagrody Głównej Polskiego Towarzystwa Matematycznego (PTM) im. Stefana Banacha za 2022 rok: „Wynik ma nie tylko głęboką wagę teoretyczną, ale także pociąga za sobą szereg zastosowań praktycznych, wyjaśniając na przykład zaskakująco szybkie tempo zbieżności pewnych algorytmów dopasowujących, wykorzystywanych w wyszukiwarkach internetowych” – czytamy na stronach PTM.
O jak skomplikowanych wyliczeniach mowa, obrazuje także fakt, jak wygląda recenzowanie tego typu prac. Polscy matematycy na publikację swojej (potrzebowali trzech recenzji) czekali prawie dwa lata, ponieważ recenzent nie tyle czyta pracę, ile musi sam zrozumieć wszystkie obliczenia. – Mówi się, że w innych dziedzinach nauki podaje się prędkość czytania w stronach na godzinę. W matematyce, w godzinach na stronę – tłumaczy prof. Kielak.
Polacy w swoich obliczeniach wykorzystali komputer. Opisał to we wspomnianym wywiadzie dr Marek Kaluba: „Pamiętam, że jesienią 2018 razem z Dawidem pojechaliśmy na konferencję UMI-SIMAI-PTM (Polsko-Włoski Zjazd Towarzystw Matematycznych)... My jednak, zamiast chodzić na wykłady, w kuluarach kreśliliśmy strategię, w jaki sposób zaatakujemy problem, nad którym pracowaliśmy. W matematyce jest tak, że po tym, jak nakreślimy i sprawdzimy wszystkie kroki, możemy przystąpić do pisania dowodu. W tym wypadku było jednak inaczej. Nasza strategia zawierała elementy obliczeniowe, więc zmodyfikowaliśmy potrzebne oprogramowanie i musieliśmy zapuścić dodatkowo obliczenia. Pierwsze obliczenie (które miało nam powiedzieć, czy nasze podejście jest w ogóle słuszne) trwało 5 dni – czego oczywiście nie mogliśmy przewidzieć. Razem z Dawidem obserwowaliśmy więc w napięciu postępy obliczeń, bo – przypomnę – byliśmy nadal na konferencji. Natomiast Piotr, który był w Warszawie, bombardował nas pytaniami o to, na jakim etapie są obliczenia. Ustawiłem więc bota na Twitterze, który co 5 minut, jak tylko pojawiało się uaktualnienie, wysyłał do Piotra informacje. Można więc powiedzieć, że wyniki szły live…” – wspominał Marek Kaluba.
Rozwłóknianie przestrzeni i tajemnica liczenia dziur
Dawid Kielak, który jest profesorem Uniwersytetu Oksfordzkiego (otrzymał również nagrodę przyznawaną przez Londyńskie Stowarzyszenie Matematyków, czyli Whitehead Prize) podkreśla, że piękno matematyki tkwi w tym, że tu nie ma miejsca na żadne spekulacje. – Matematyka daje odpowiedzi. Z fizyką albo z filozofią jest tak, że można sobie różne argumenty przedstawiać i one są w zasadzie wszystkie do obronienia, bo na koniec wszystko się rozbija o semantykę. Matematyka nie ma tego problemu, bo w matematyce stwierdzenia są prawdziwe albo nie. Nie zawsze potrafimy to udowodnić, ale w momencie, kiedy istnieje dowód, no to temat jest po prostu zamknięty. Tutaj nie ma żadnej wyższej instancji. Nikt mojego eksperymentu nigdy nie obali i nikt nigdy nie nie zaprzeczy temu, co zostało udowodnione – mówi, ale podkreśla też korespondencję nauk. – Z reguły jest tak, że jak w matematyce znajdziemy jakąś ciekawą teorię, to fizycy zaraz potem znajdują dla niej konkretne zastosowanie – mówi.
Naukowiec na swoim koncie ma również inne sukcesy i opracowane twierdzenia matematyczne. Jedno z tych, które jest w świecie matematycznym uznawane za ogromny sukces, to twierdzenie dotyczące rozwłókniania przestrzeni. – Aby zrozumieć dany obiekt, należy go, mówiąc obrazowo, pociąć na cieniutkie plasterki. To właśnie jest rozwłóknianie – mówi.
Największe naukowe marzenie? – W matematyce mamy takie pojęcie jak homologie, które liczą ilość dziur. W donucie mamy jedną dziurę, w preclu są trzy dziury. To tak dla zobrazowania. Mamy sposoby liczenia dziur w dużo bardziej skomplikowanych obiektach, tylko nie wiemy, czy ta ilość dziur wychodzi w liczbach całkowitych. Przy jednym ze sposobów liczenia tak powinno być i bardzo chciałbym to udowodnić, bo to jest szokujące, że wciąż nie mamy w tej kwestii odpowiedzi – tłumaczy prof. Kielak, a problem (hipoteza Atiyah), który opisuje, jest nierozwiązany od 50 lat.
Polska nauka
śladami Kopernika
Przeczytaj inne artykuły poświęcone polskiej nauce
Projekt współfinansowany ze środków Ministerstwa Edukacji i Nauki w ramach programu „Społeczna Odpowiedzialność Nauki”